Energieerhaltungssatz angewendet auf hydraulische Systeme: die bernoullische Gleichung

Der allgemeine Energieerhaltungssatz sagt aus, dass die Menge der Energie in einem geschlossenen System einer hydraulischen Anlage immer gleich bleibt. Energie kann umgewandelt werden, sie geht aber nicht verloren. Die aus der Mechanik bekannte Gleichung dazu lautet:

½ m × v² = m × g × h

"g" steht für die Erdbeschleunigung und kann durch ein allgemeines "a" ersetzt werden, sofern eine andere Form der Massenbeschleunigung angewendet wird als der freie Fall. In der Hydraulik findet der Energieerhaltungssatz ebenfalls Anwendung. Dazu hat der Schweizer Mathematiker und Physiker Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert zunächst folgende Axiome für hydraulische Systeme postuliert:

  1. Das System ist geschlossen und vollständig mit einer inkompressiblen Flüssigkeit gefüllt.
  2. Die Reibung kann vernachlässigt werden.

Ausgehend von diesen Grundannahmen hat Daniel Bernoulli gemeinsam mit Giovanni Battista Venturi die folgenden Gesetzmäßigkeiten am Beispiel eines Fallrohres entwickelt:

e = u²/2 + p/Rho + g×z = Konstant

Energieerhaltungssatz verständlich erklärt:

"Die Gesamtenergie im hydraulischen System ist das Quadrat der Fließgeschwindigkeit durch zwei plus der Innendruck im System geteilt durch die Dichte der hydraulischen Flüssigkeit plus die Erdbeschleunigung mal der Höhe des Gefälles."

Auch hier lässt sich g durch eine beliebige Beschleunigung, beispielsweise durch die Förderleistung einer hydraulischen Pumpe, ersetzen bzw. ergänzen. Diese Gleichung erklärt, wie es innerhalb eines hydraulischen Systems, beispielsweise bei Verjüngungen oder Erweiterungen von Rohrabschnitten, es zu hohen Unterschieden bei Druck und Fließgeschwindigkeit kommen kann.
Dieser hydraulische Energieerhaltungssatz wird in dieser Form auch "Energiegleichung" genannt. Er lässt sich durch einfache Algebra in die "Höhengleichung" oder die "Druckgleichung" umstellen. Mit dieser Formelumstellung steht dem Konstrukteur praktisch alles Erforderliche zur Verfügung, um ein hydraulisches System exakt berechnen zu können. Die bernoullische Formel gehört damit zu dem Grundwissen für Fachkräfte in der Hydraulik.

Der Energieerhaltungssatz und die bernoullische Gleichung in der Praxis

In der Praxis ist die Kenntnis der bernoullischen Gleichungen zwar die Grundlage, jedoch reicht sie in den meisten Fällen nicht aus. Entgegen dem Grundaxiom der vernachlässigbaren Reibung muss diese bei größeren und komplexen Systemen sehr wohl mit einkalkuliert werden. Hierzu wurde die erweiterte bernoullische Energiegleichung für "zähe Flüssigkeiten" entwickelt. Diese fügt dem ersten Term der Energiegleichung den "Druckverlustbeiwert" (Zeta) zu. Der allgemeine Druckverlust richtet sich nach der Veränderung der Rohrgeometrie.

Soll die Struktur der Innenwandung eines hydraulischen Rohrs berücksichtigt werden, nimmt man dazu die Rohrreibungszahl Lambda zur Hilfe. Wie in der technischen Mechanik ist der Energieerhaltungssatz in der Hydraulik daher nur ein theoretischer Ansatz. In der Praxis findet sehr wohl ein Energieverlust über die Reibung statt. Diese erwärmt das hydraulische System entlang der gesamten Strömungsrichtung und strahlt in die Umgebung ab. Zum Auslegen und Berechnen des hydraulischen Systems sind diese Wärmeverluste aber vernachlässigbar.