Bernoullische Gleichung

Die Bernoullische Gleichung ist eine Abwandlung des allgemeinen Energieerhaltungssatz auf hydraulische Systeme.
Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Menge der Energie in einem geschlossenem System gleich bleibt. Um welche Form der Energie es sich dabei handelt, ist gleichgültig. Energie wird demzufolge nicht "erzeugt" oder "verbraucht", sondern immer nur von einer Form in eine andere umgewandelt.

Bernoullische Gleichung: Der Energieerhaltungssatz

Grundsätzlich wird zwischen der "potentiellen" oder "Lage- bzw. Ruheenergie" und der "kinetischen" bzw. "dynamischen" Energie unterschieden. Die Formel des Energieerhaltungssatzes sagt allgemein.

m×a×h = 1/2 m×v²

Beispiel: Ein Felsbrocken, der auf der Spitze eines Berges ruht hat eine Masse (m) und er befindet sich auf einer Höhe (h). Auf ihn wirkt darüberhinaus die Beschleunigung (a), in diesem Fall die Erdanziehungskraft (g). Darum wird die Beschreibung der potentiellen Energie auch mit m×g×h beschrieben.

Rollt der Felsbrocken nun vom Berggipfel hinunter, setzt er dabei die vorher "gespeicherte" potentielle Energie in Bewegungsenergie um. Diese wird mit 1/2 m × v² beschrieben. Ist also die Geschwindigkeit und die Höhe des Gipfels bekannt, lässt sich auf die Masse des Felsen schließen und umgekehrt.

Der Energieerhaltungssatz lässt sich auf praktisch alle anderen Energiesysteme anwenden. Erst in der Teilchenphysik reicht er nicht mehr aus, um die dort herrschenden Phänomene zu erklären.

Angewandter Energieerhaltungssatz für hydraulische Systeme

Die Bernoullische Gleichung überträgt nun den Energieerhaltungssatz auf hydraulische Systeme. Damit er anwendbar ist, müssen zwei Bedingungen gelten:

  1. Das System ist vollständig mit einer inkompressiblen Flüssigkeit gefüllt.
  2. Die Strömung im System verläuft frei von Reibung

Mit diesen Bedingungen werden Störfaktoren ausgeschlossen.

Die Bernoullische Gleichung lautet für das Beispiel eines Fallrohrs:

e = u²/2 + p/rho + g×z = Konstant

e = Spezifische Gesamtenergie im geschlossenem System
u = Fließgeschwindigkeit
p = Druck
Rho= Dichte der hydraulischen Flüssigkeit
g = Erdbeschleunigung
z = Höhe des Gefälles

Die Werte g, z und u können technisch bedingt durch andere Faktoren ersetzt werden, beispielsweise durch die Förderleistung einer Antriebspumpe.

Anwendung der Bernoullischen Gleichung

Im Wesentlichen erklärt diese Gleichung einen merkwürdigen Effekt, welcher sich bei veränderten Querschnitten von Rohrleitungen einstellt. Entlang der Strömungslinie, also der Mittellinie einer Fluidströmung, verändern sich Druck und Geschwindigkeit entlang einer Leitungen, abhängig von den Querschnitten der Röhren. Da das System geschlossen ist (Bedingung 1) und die Flüssigkeit inkompressibel ist (Bedingung 2) muss an jedem Punkt des Systems stets das gleiche Volumen pro Zeit vorbei streichen. Damit dies funktioniert, steigt die Geschwindigkeit bei einer Verengung und sie sinkt wieder, wenn sich der Querschnitt weitet.

Zusätzlich tritt aber ein bemerkenswerter Effekt ein: Obwohl bei verjüngendem Querschnitt die Geschwindigkeit ansteigt, sinkt der Druck an dieser Stelle ab. Ebenso steigt er wieder, wenn sich der Querschnitt wieder im nächsten Rohrabschnitt weitet. Dieser Effekt wird durch die Bernoullische Gleichung erklärt und lässt sich damit herleiten.

In der Praxis lässt sich auf diesem Weg das Geschwindigkeits- und Druckverhalten von Fluiden in geschlossenen, hydraulischen Systemen exakt berechnen. Dies ist für die Auslegung von Wandstärken, Dichtungen, Anziehmomenten und viele andere Faktoren sehr wichtig. Die hydraulischen Systeme lassen sich so zweckoptimiert auslegen und an kritischen Stellen entsprechend verstärken. In Summe gehört die Bernoullische Gleichung zum Grundwissen von jeder Hydraulikfachkraft.